論文摘要:對現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)行了較詳細(xì)的綜述，并就其研究動態(tài)及發(fā)展趨勢進(jìn)行了分析。

　　論文關(guān)鍵詞:金融數(shù)學(xué)；概率論；鞅理論；最優(yōu)停時(shí)理論

　　一、引言

　　現(xiàn)代金融理論伴隨著金融市場的發(fā)展大量應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，這是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)化的最大成就，從而出現(xiàn)了一個(gè)全新的學(xué)科—-金融數(shù)學(xué)。金融數(shù)學(xué)是以概率統(tǒng)計(jì)和泛函分析為基礎(chǔ),以隨機(jī)分析和鞅理論為核心，主要研究風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和金融工具）的定價(jià)、避險(xiǎn)和最優(yōu)投資消費(fèi)策略的選擇。近二十幾年來，金融數(shù)學(xué)不僅對金融工具的創(chuàng)新和對金融市場的有效運(yùn)作產(chǎn)生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發(fā)項(xiàng)目的評估（如實(shí)物期權(quán)）以及在金融機(jī)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)管理中得到廣泛應(yīng)用�，F(xiàn)在對它的研究方興未艾,21世紀(jì)肯定是它進(jìn)一步蓬勃發(fā)展的時(shí)代。

　　二、金融數(shù)學(xué)的歷史進(jìn)展

　　金融數(shù)學(xué)的歷史可以追溯到1900年法國數(shù)學(xué)家巴謝利耶 (L•Bachelier)的博士論文—“投機(jī)的理論”(Theoryof Speculation)，這宣告了金融數(shù)學(xué)的誕生。在文中他首次用布朗運(yùn)動來描述股票價(jià)格的變化，他認(rèn)為在資本市場中有買有賣, 買者看漲、賣者看跌, 其價(jià)格的波動是布朗運(yùn)動(Brownian Motion) 其統(tǒng)計(jì)分布是正態(tài)分布, 這要比愛因斯坦1905年研究布朗運(yùn)動早5年。

　　然而，巴謝利耶的工作沒有引起金融學(xué)界的重視達(dá)50多年。20世紀(jì)50年代初，薩繆爾森（PaulA.Samuelson）通過統(tǒng)計(jì)學(xué)家薩維奇（L•J.Savage）重新發(fā)現(xiàn)了巴謝利耶的工作，這標(biāo)志了現(xiàn)代金融學(xué)的開始�，F(xiàn)代金融學(xué)隨后經(jīng)歷了兩次主要的革命，第一次是在1952年。那年，馬爾柯維茨（H.Markowitz,1952）發(fā)表了他的博士論文，提出了“資產(chǎn)組合選擇的均值方差理論”（mean-variance theory of portfolio selection）.它的意義是將原來人們期望尋找“最好”股票的想法引導(dǎo)到對風(fēng)險(xiǎn)和收益的量化和平衡的理解上來。給定風(fēng)險(xiǎn)水平極大化期望收益，或者給定收益水平極小化風(fēng)險(xiǎn)，這就是上述“均值方差理論”的主要思想，我們可以將它看成是一個(gè)帶約束的最優(yōu)化問題。稍后，夏普（W.F.Sharpe,1964）和林特納（J.Lintner,1965）進(jìn)一步拓展了馬爾柯維茨的工作，提出了“資本資產(chǎn)定價(jià)模型”（capital asset pricing model,簡稱CAPM）。它的要點(diǎn)是確定每一個(gè)股票和整個(gè)市場的相關(guān)性，于是，對于上述最優(yōu)化問題，每個(gè)股票的持有量可以由該股票的平均回報(bào)率和該股票與市場的相關(guān)系數(shù)來確定。

　　值得一提的是20世紀(jì)60年代的另一個(gè)有影響的工作是薩繆爾森（Samuelson,1965）和法馬（E.Fama， 1965）的“市場有效性假設(shè)”（efficient market hypothesis）,這本質(zhì)上是對于市場完備性的某種描述。他們證明，在一個(gè)運(yùn)作正常的市場中，資本價(jià)格過程是一個(gè)（下）鞅，換句話說，將來的收益狀況實(shí)際上是不可測的，這項(xiàng)工作實(shí)際上為第二次革命做了鋪墊。費(fèi)希爾（Fisher）和洛里（lorie）利用1920年中期倒1960年中期的歷史數(shù)據(jù)檢測了“市場有效性假設(shè)”。他們的結(jié)果表明，在這段時(shí)間里，隨機(jī)的選擇股票并且持有，其平均回報(bào)率為每年9.4％，它要比一般的專業(yè)經(jīng)紀(jì)人為他們的顧客運(yùn)作所獲得的贏利來得高。

　　金融數(shù)學(xué)的第二次革命發(fā)生在1973年。那年，費(fèi)希爾•布萊克和邁倫•斯科爾斯（F.Black and M.Scholes,1973 ）發(fā)表了著名的Black-scholes公式，給出了歐式期權(quán)定價(jià)的顯示表達(dá)式。默頓和斯科爾斯在紀(jì)念布萊克的一篇文章（Merton and scholes,1995）中敘述了當(dāng)年布萊克和斯科爾斯的文章被接受的困難程度，其原因是他們的工作超前了那個(gè)時(shí)代。

　　不久，默頓獲得了另一種推導(dǎo)方法，并且給以了推廣。1979年，考克斯、羅斯和魯賓斯坦（Cox,Ross,and Rubinstein,1979）發(fā)表了二叉樹模型；同時(shí)哈里森和克雷普斯（Harrison and Kreps）提出了多時(shí)段的鞅方法和套利。1981年，哈里森和普利斯卡（Harrison and Pliska,1981）提出了等價(jià)鞅測度（這與“市場有效性假設(shè)”有密切的關(guān)系）。這些工作本質(zhì)上是為了風(fēng)險(xiǎn)管理這個(gè)主題服務(wù)的。

　　三、現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢

　�。ㄒ唬┙鹑跀�(shù)學(xué)的一些新問題

　　金融數(shù)學(xué)的兩大突破都用到了非常深刻的數(shù)學(xué)工具。前者需要近20年發(fā)展起來的隨機(jī)分析;后者更是為數(shù)學(xué)家提出了許多新問題。如美式期權(quán)問題、亞洲期權(quán)問題、利率的期限結(jié)構(gòu)問題、市場的波動與突發(fā)事件問題,等等。在理論研究上,模型的進(jìn)一步修正是一個(gè)需要深入研究的問題。在應(yīng)用研究上,如何針對具體的金融問題設(shè)計(jì)新的期權(quán)?也不是所有期權(quán)都會有精確的定價(jià)公式。如何做各種近似計(jì)算?各類保險(xiǎn)合同實(shí)際上也是一種特殊的期權(quán)。如何應(yīng)用于保險(xiǎn)事件?最重要的是結(jié)合中國的金融實(shí)際還有許多宏觀與微觀的經(jīng)濟(jì)問題需要解決。

　　（二）概率論在金融數(shù)學(xué)中最新的理論發(fā)展

　　1、鞅理論

　　現(xiàn)代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在市場是有效的假定下, 證券的價(jià)格可以等價(jià)于一個(gè)鞅隨機(jī)過程。由Karatzas 和Shreve 等人倡導(dǎo)的鞅方法直接把鞅理論引入到現(xiàn)代金融理論中，利用等價(jià)鞅測度的概念研究衍生證券的定價(jià)問題,得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場的運(yùn)行規(guī)律,而且可以提供一套有效的算法,求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理問題。利用鞅理論研究金融理論的另一個(gè)好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時(shí)的衍生證券定價(jià)問題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進(jìn)展。目前基于鞅方法的衍生證券定價(jià)理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位,但在國內(nèi)還是一個(gè)空白。

　　2、最憂停時(shí)理論

　　最優(yōu)停時(shí)理論是概率論中一個(gè)具有很強(qiáng)應(yīng)用背景的領(lǐng)域,他的蓬勃發(fā)展是60 年代以后的事。近幾年,在國內(nèi)也有一些學(xué)者開始熱心這一領(lǐng)域的研究,而且取得了可喜的成果運(yùn)用最優(yōu)停時(shí)理論研究了具有固定交易費(fèi)用的證券投資決策問題,給出了具有二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的投資決策問題一種簡化算法。在國內(nèi)有關(guān)這方面的研究尚不多見，相信運(yùn)用最優(yōu)停時(shí)理論來研究投資決策問題和風(fēng)險(xiǎn)最小化問題會有更大的進(jìn)展。

　　四、結(jié)束語

　　金融與數(shù)學(xué)的結(jié)合越來越引起國際金融界和數(shù)學(xué)界的關(guān)注。金融數(shù)學(xué)也已經(jīng)開始在我國得到了越來越廣泛的重視。所以更應(yīng)鼓勵數(shù)學(xué)系學(xué)生去考經(jīng)濟(jì)金融研究生; 增加經(jīng)濟(jì)和金融專業(yè)數(shù)學(xué)內(nèi)容(而不是減少)，鼓勵專家學(xué)者“下海”,以形成高素質(zhì)的新型企業(yè)家、銀行家集團(tuán)，為我國的金融體制改革,以及我國金融市場與國際金融市場接軌、參與國際金融市場競爭,做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]劉海龍,德惠.人文科學(xué)與自然科學(xué)的交叉研究:金融學(xué)中的數(shù)理方法綜述.東北大學(xué)學(xué)報(bào),1999，（4）

　　[2]勞漢生. 數(shù)理金融學(xué): 21 世紀(jì)概率論和金融學(xué)結(jié)合的一個(gè)研究熱點(diǎn)[J ]. 中國統(tǒng)計(jì),1999 ,(9)

　　[3]（美）Joseph Stampfli,Victor Goodman 著，蔡明超譯. 金融數(shù)學(xué).機(jī)械工業(yè)出版社.2004.