摘要 在時間價值及內(nèi)部報酬率計算時常用到插入法，但初學者對該方法并不是很容易理解和掌握。本文根據(jù)不同情況分門別類。利用相似三角形原理推導出插入法計算用公式。并將其歸納為兩類：加法公式和減法公式，簡單易懂、理解準確、便于記憶、推導快捷。

　　關鍵詞 插入法；近似直邊三角形；相似三角形

　　時間價值原理正確地揭示了不同時點上資金之間的換算。是財務決策的基本依據(jù)。為此，財務人員必須了解時間價值的概念和計算方法。但在教學過程中。筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教材插值法(也叫插入法)是用下述方法來進行的。如高等教育出版社2000年出版的《財務管理學》P62對貼現(xiàn)期的。

　　事實上，這樣計算的結果是錯誤的。最直觀的判斷是：系數(shù)與期數(shù)成正向關系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期數(shù)n應該更接近于5，而不是6。正確結果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可見，這種插入法比較麻煩，不小心時還容易出現(xiàn)上述錯誤。

　　筆者在教學實踐中用公式法來進行插值法演算，效果很好，現(xiàn)分以下幾種情況介紹其原理。

　　一、已知系數(shù)F和計息期n。求利息率i

　　這里的系數(shù)F不外乎是現(xiàn)值系數(shù)(如：復利現(xiàn)值系數(shù)PVIF年金現(xiàn)值系數(shù)PVIFA)和終值系數(shù)(如：復利終值系數(shù)FVIF、年金終值系數(shù)FVIFA)。

　　(一)已知的是現(xiàn)值系數(shù)

　　那么系數(shù)與利息率(也即貼現(xiàn)率)之間是反向關系：貼現(xiàn)率越大系數(shù)反而越小，可用圖1表示。

　　圖1中。F表示根據(jù)題意計算出來的年金現(xiàn)值系數(shù)(復利現(xiàn)值系數(shù)的圖示略有不同，在于i可以等于0，此時縱軸上的系數(shù)F等于1)，F(xiàn)為在相應系數(shù)表中查到的略大于F的那個系數(shù)，F(xiàn)對應的利息率即為i。查表所得的另一個比F略小的系數(shù)記作F，其對應的利息率為i。

　　(二)已知的是終值系數(shù)

　　那么系數(shù)與利息率之間是正向關系：利息率越大系數(shù)也越大。其關系可用圖2表示。

　　圖2中，F(xiàn)表示根據(jù)題意計算出來的某種終值系數(shù)。F為在相應系數(shù)表中查到的略小于F的那個系數(shù)。F對應的利息率仍記作i，查表所得的另一個比F略大的系數(shù)記作F，其對應的利息率即為i。

　　上面兩圖中，二者往往相差1％，最多也不超過5％，故曲邊三角形ABC和ADE可近似地看作直邊三角形。

　　二、已知系數(shù)F和利息率i。求計息期n

　　(一)已知的是終值系數(shù)和年金現(xiàn)值系數(shù)

　　那么系數(shù)與計息期間是正向關系：計息期越大系數(shù)也越大�？捎脠D3表示。

　　圖3中。F表示根據(jù)題意計算出來的終值系數(shù)或年金現(xiàn)值系數(shù)，F(xiàn)為在相應系數(shù)表中查到的略小于F的那個系數(shù)。F對應的計息期即為n，查表所得的另一個比F略大的系數(shù)即記作F。其對應的計息期為n。

　　(二)已知的是復利現(xiàn)值系數(shù)

　　那么系數(shù)與計息期間是反向關系：計息期越大系數(shù)反而越小。可用圖4表示。

　　圖4中，F(xiàn)表不根據(jù)題意計算出來的復利現(xiàn)系數(shù)。F1為在相應系數(shù)表中查到的略大于F的那個系數(shù)，F(xiàn)1對應的計息期即為n1，那么還有另一個比F略小的系數(shù)即記作F2，其對應的計息期為n2。

　　同理，當n1和n2無限接近時，近似直邊三角形ABC、ADE為相似三角形，則有：BC／DE=AB/AD

　　在圖3中即有：F-F1／F2-F1=n-n1/n2-n1

　　在圖4中則有：n-n1/n2-n1＝F1-F／F1-F2

　　據(jù)上面兩式均可求得：

　　n=n1+F1-F／F2-F1(n2-n1)…………………………公式2

　　三、內(nèi)部報酬率IRR的計算

　　內(nèi)部報酬率(或叫內(nèi)部收益率)IRR是投資決策常用指標之一，也采用插值法來計算，其原理等同于時間價值中利息率的計算，只是因變量由終值、現(xiàn)值系數(shù)轉變?yōu)閮衄F(xiàn)值NPV。其計算原理可在圖5中得到反映。

　　這里，i1＜i2，且二者之差不超過5％，這是在實際計算中很多人容易忽略的一個方面。在測算凈現(xiàn)值時。先試用一個較小的貼現(xiàn)率，求得的NPV遠大于零，于是就再選用一個大得多的貼現(xiàn)率讓NPV小于0，之后也直接套用公式3來計算IRR，這樣雖然省事。但誤差較大，有時候會影響決策。因為此時曲邊三角形不可以近似看作直邊三角形，后面的推導也就不成立了。理解了這一原理，一般就會注意兩次試用的貼現(xiàn)率之間差距不要太大。其標準就是不超過5％。

　　以上三個公式均是以較小的變量(i1、n1)加上插入值。可以稱為加法公式。公式中分式部分即插入值。其分子、分母的被減項都是較小變量對應的系數(shù)或凈現(xiàn)值，這樣對應記憶快捷準確。加上三者結構一致，記住一個即可舉一反三，非常方便。

　　這三個公式均是以較大的一項(i2、n2)為起點，減去插入值，可以稱為減法公式。分式中分子、分母的被減項均是較大變量對應的系數(shù)或凈現(xiàn)值，也是對應關系。

　　本文開頭所提例子應該用減法公式，直接套用公式2，因為其列示已知變量是從大到小，但教材卻用了加法公式2。導致錯誤。如果采用加法公式2，那就要對查表已知的期數(shù)及年金現(xiàn)值系數(shù)從小到大重新排列。正確運用兩公式的結果是一樣的，均為5.4年。

　　插值法的原理是相似三角形定理，據(jù)此。即使模糊或忘記了公式也可采用文中任一圖示快速、準確地推導出來。而且采用公式法，不論是根據(jù)什么系數(shù)。也不論是求解利息率、計息期還是IRR。均可套用，簡單有效又不容易出錯。